家族が亡くなった場合、市・県民税（個人住民税）を支払う義務はありますか。

市・県民税（個人住民税）は1月1日を基準として課税されます。1月2日以降に死亡された場合でも納税義務があり、納税の義務も負うことになります。
なお、相続の権利をすべて放棄した場合は納税義務はありません。